Leonhard Euler - 1748

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Sei p(x) eine Funktion, die zu einer gegebenen reellen Zahl x die Anzahl der Primzahlen angibt, welche kleiner oder gleich dieser reellen Zahl x sind. Weiterhin sind die Primzahlen in aufsteigender Größe nummeriert P = {p₁, p₂, p₃, ...} und der natürliche Logarithmus sei definiert als:

.
Aus dem Vergleich der Funktion f(t) = 1/t und einer oberen Treppenfunktion (siehe Abbildung) erhält man für n kleiner/gleich x kleiner/gleich n + 1 den Ausdruck:

,
wobei die Summe aus den natürlichen Zahlen m gebildet wird, welche nur Primfaktoren p kleiner/gleich x enthalten.


Da nun jede Zahl m auf eindeutige Weise als ein Produkt der Form:


geschrieben werden kann, ist ersichtlich, daß die Summe gleich


ist. Die Summe in der Klammer ist eine geometrische Reihe mit dem Faktor 1/p und daraus läßt sich:


ableiten. Nun ist p_k größer / gleich k + 1 und daher erhalten wir:

.
Daraus ergibt sich dann folgende Ungleichung:

.
Bekanntlich ist die Funktion log x nicht beschränkt und daraus folgt dann, daß die Funktion p(x) auch unbeschränkt sein muß und daher existieren unendlich viele Primzahlen.

Martin Aigner, Günther M. Ziegler, Das BUCH der Beweise, Springer-Verlag 2002
Martin Aigner, Günther M. Ziegler, Proofs from THE BOOK, Springer-Verlag 1998
Leonhard Euler, Introductio in Analysin Infinitorum, Tomus Primus, Lausanne 1748; Opera Omnia, Ser. 1, Vol. 8

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letzte Änderung: 14.04.2002
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